1.4 常见效用函数与替代弹性

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偏好与选择
从相对消费结构与边际替代率的敏感度出发定义替代弹性，系统解析完全替代、柯布–道格拉斯、完全互补与拟线性效用函数，以 CES 效用函数统一曲率谱系。
作者

Shawn

Gemini 3.8 Flash

发布于

2026年9月27日

第 1 章 · 偏好与选择 ｜ 第 1.4 讲 ｜ 前置：1.3 偏好凸性与效用拟凹性 ｜ 预计阅读 45 分钟

在第 1.3 讲确立了偏好凸性（无差异曲线凸向原点）之后，理论家面临一个核心的量化任务：商品与商品之间到底有多容易相互替代？

有的商品彼此几无差异（如两瓶纯净水），有的商品必须按死板比例捆绑消费（如左鞋与右鞋），更多商品则介于两者之间。如果只是为每种情况生硬设计孤立的函数公式，微观经济学就会退化为零散的模型清单。

为了打破这种碎片化，现代经济学引入了替代弹性（Elasticity of Substitution），并构建了常替代弹性（Constant Elasticity of Substitution, CES）效用函数。本讲以替代弹性为理论线索，全面剖析常见效用函数族的几何特征与统一谱系。

边际替代率与替代弹性的严格定义

在二维商品空间 \((x_1, x_2)\) 中，消费者在维持效用水平不变时，愿意用商品 2 交换商品 1 的交换比率由边际替代率（MRS）给出：

\[\begin{aligned} \operatorname{MRS}_{1, 2} &\equiv \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = -\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}x_1}\Bigg|_{u = \bar{u}} \end{aligned}\]

当商品 1 相对于商品 2 变得更贵时，消费者会调整消费结构，减少商品 1 的相对占比（即相对消费比率 \(x_2 / x_1\) 上升）。替代弹性 \(\sigma\) 衡量的正是：当相对价格（即边际替代率 \(\operatorname{MRS}\)）变动 1% 时，相对消费比例 \(x_2 / x_1\) 调整了百分之几？

重要定义：替代弹性（Elasticity of Substitution）

沿着同一条无差异曲线，商品 1 与商品 2 之间的替代弹性 \(\sigma\) 定义为相对消费比率关于边际替代率的对数弹性：

\[\sigma \equiv \frac{\mathrm{d}\ln(x_2 / x_1)}{\mathrm{d}\ln \operatorname{MRS}_{1, 2}} = \frac{\partial (x_2 / x_1)}{\partial \operatorname{MRS}_{1, 2}} \cdot \frac{\operatorname{MRS}_{1, 2}}{x_2 / x_1}\]

  • \(\sigma\) 是一个纯无量纲的数值，完全独立于商品的度量单位；
  • \(\sigma\) 越大，说明商品间的可替代性越强，无差异曲线越平缓；
  • \(\sigma\) 越小，说明商品间的互补性越强，无差异曲线拐角越尖锐。

常替代弹性效用函数与曲率参数

为了能够灵活调控替代弹性，Arrow, Chenery, Minhas and Solow (1961) 提出了常替代弹性函数形式。在两商品消费理论中，其标准表达为：

重要定义：常替代弹性（CES）效用函数

两商品的 CES 效用函数形式为：

\[u(x_1, x_2) = \bigl[a\, x_1^{\rho} + b\, x_2^{\rho}\bigr]^{\frac{1}{\rho}}\]

其中 \(a, b > 0\) 为份额权重参数，\(\rho \le 1\) 且 \(\rho \neq 0\) 为替代参数。

1. 替代弹性与替代参数的代数映射

直接对 CES 效用函数求一阶偏导数：

\[\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x_1} &= \frac{1}{\rho}\bigl[a x_1^\rho + b x_2^\rho\bigr]^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot a \rho x_1^{\rho-1} \\ &= a x_1^{\rho-1} \bigl[a x_1^\rho + b x_2^\rho\bigr]^{\frac{1-\rho}{\rho}} \end{aligned}\]

同理得 \(\frac{\partial u}{\partial x_2} = b x_2^{\rho-1} [a x_1^\rho + b x_2^\rho]^{\frac{1-\rho}{\rho}}\)。由此可得边际替代率表达式：

\[\begin{aligned} \operatorname{MRS}_{1, 2} &= \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = \frac{a}{b}\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho - 1} \\ &= \frac{a}{b}\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{1 - \rho} \end{aligned}\]

两边取自然对数：

\[\ln \operatorname{MRS}_{1, 2} = \ln(a/b) + (1 - \rho)\ln(x_2/x_1)\]

反解对数项比率：

\[\ln(x_2/x_1) = -\frac{1}{1 - \rho}\ln(a/b) + \frac{1}{1 - \rho}\ln \operatorname{MRS}_{1, 2}\]

直接对 \(\ln \operatorname{MRS}_{1, 2}\) 求导，解出替代弹性：

\[\begin{aligned} \sigma &= \frac{\mathrm{d}\ln(x_2 / x_1)}{\mathrm{d}\ln \operatorname{MRS}_{1, 2}} = \frac{1}{1 - \rho} \\ &\iff \rho = \frac{\sigma - 1}{\sigma} \end{aligned}\]

因为 \(\rho\) 为常数，所以在该无差异曲线的任意点上，替代弹性恒等于常数 \(\sigma\)。这就是“常替代弹性”命名的由来。微观经济学要求 \(\rho \le 1\)（即 \(\sigma \ge 0\)），以确保上轮廓集凸向原点。

经典效用函数作为常替代弹性的极限谱系

通过连续调节替代参数 \(\rho\)（或等价调节 \(\sigma \in [0, \infty)\)），CES 效用函数将经典消费理论中的所有基准模型囊括其中：

替代参数取值 替代弹性取值 对应经典函数族 几何特征 经济含义
\(\rho = 1\) \(\sigma \to \infty\) 完全替代（Linear） 倾斜直线 商品间完全无差别替代
\(\rho \to 0\) \(\sigma \to 1\) 柯布–道格拉斯（C-D） 光滑双曲线 支出份额恒定，标准内点解
\(\rho \to -\infty\) \(\sigma \to 0\) 完全互补（Leontief） 直角拐角 严格固定比例消费

1. 极限一：完全替代线性偏好

当 \(\rho = 1\) 时，代入定义式即得线性效用函数：

\[u(x_1, x_2) = a x_1 + b x_2\]

此时 \(\operatorname{MRS}_{1, 2} = a / b\) 恒为常数。无差异曲线是一簇平行直线，此时相对价格的任意微弱偏离都会引发角点全量替代。

2. 极限二：柯布–道格拉斯偏好

当 \(\rho \to 0\) 时，指数 \(1/\rho \to \infty\)，形式上呈现 \(1^\infty\) 未定式。对其对数形式应用洛必达法则：

假定权重归一化满足 \(a + b = 1\)（若未归一化，可先通过单调变换提取常数因子 \((a+b)^{1/\rho}\) 转化为份额形式 \(\alpha = \frac{a}{a+b}, 1-\alpha = \frac{b}{a+b}\)）。对效用函数取对数： \[\ln u(x_1, x_2) = \frac{\ln(a x_1^\rho + b x_2^\rho)}{\rho}\]

当 \(\rho \to 0\) 时，分子 \(\ln(a + b) = \ln 1 = 0\)，分母为 0，属于标准的 \(0/0\) 型未定式。 对分子分母分别关于 \(\rho\) 求导： \[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho}\ln(a x_1^\rho + b x_2^\rho) &= \frac{a x_1^\rho \ln x_1 + b x_2^\rho \ln x_2}{a x_1^\rho + b x_2^\rho} \end{aligned}\] 分母求导结果为 1。令 \(\rho \to 0\) 取极限： \[\begin{aligned} \lim_{\rho \to 0} \ln u(x_1, x_2) &= \frac{a \ln x_1 + b \ln x_2}{a + b} \\ &= a \ln x_1 + b \ln x_2 \end{aligned}\] 两边取指数： \[u(x_1, x_2) \to \exp(a \ln x_1 + b \ln x_2) = x_1^a x_2^b\] 这正是柯布–道格拉斯（Cobb-Douglas）效用函数。

3. 极限三：完全互补里昂惕夫偏好

当 \(\rho \to -\infty\) 时，利用连续 \(p\)-范数极限理论：

\[\lim_{\rho \to -\infty} \bigl[a x_1^\rho + b x_2^\rho\bigr]^{\frac{1}{\rho}} = \min\{x_1, x_2\}\]

无差异曲线收敛为以直角转折的折线（Leontief 形式），商品只能以固定比例捆绑消费。

替代弹性不同时的各类效用函数图解

为了让读者直观对照不同替代弹性下的无差异曲线几何形状，下图对比展示了讲义中涵盖的四类典型效用函数（完全替代、柯布–道格拉斯、完全互补与拟线性）：

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// 几类经典效用函数的无差异曲线形态对照图
viewof selected_func = Inputs.radio([
  "柯布-道格拉斯 (σ = 1)",
  "完全替代 (σ → ∞)",
  "完全互补 (σ = 0)",
  "拟线性效用 (平行平移)"
], { value: "柯布-道格拉斯 (σ = 1)", label: html`选择效用函数类型` })
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func_lines = {
  const levels = [1.5, 2.5, 3.5];
  const grid = d3.range(0.1, 5.0, 0.05);
  let curves = [];

  levels.forEach((u, idx) => {
    if (selected_func.includes("柯布-道格拉斯")) {
      // u(x1, x2) = sqrt(x1 * x2) => x2 = u^2 / x1
      let pts = grid.map(x => [x, (u * u) / x]).filter(d => d[1] <= 5.0 && d[1] >= 0.1);
      curves.push({ u: u, pts: pts, label: `u = ${u}` });
    } else if (selected_func.includes("完全替代")) {
      // u(x1, x2) = x1 + x2 => x2 = u - x1
      let u_val = u + 0.8;
      let pts = grid.map(x => [x, u_val - x]).filter(d => d[1] <= 5.0 && d[1] >= 0);
      curves.push({ u: u_val, pts: pts, label: `u = ${u_val.toFixed(1)}` });
    } else if (selected_func.includes("完全互补")) {
      // u(x1, x2) = min{x1, x2} => 拐角在 (u, u)
      let c = u * 1.0;
      let pts = [[c, 5.0], [c, c], [5.0, c]];
      curves.push({ u: u, pts: pts, label: `u = ${u}` });
    } else {
      // 拟线性: u(x1, x2) = sqrt(x1) + x2 => x2 = u - sqrt(x1)
      let u_val = u + 0.6;
      let pts = grid.map(x => [x, u_val - Math.sqrt(x)]).filter(d => d[1] <= 5.0 && d[1] >= 0);
      curves.push({ u: u_val, pts: pts, label: `u = ${u_val.toFixed(1)}` });
    }
  });
  return curves;
}
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Plot.plot({
  height: 380,
  x: { domain: [0, 5.2], label: "商品 1 数量 x₁ →" },
  y: { domain: [0, 5.2], label: "↑ 商品 2 数量 x₂" },
  marks: [
    Plot.ruleX([0], { stroke: "#94a3b8" }),
    Plot.ruleY([0], { stroke: "#94a3b8" }),
    ...func_lines.map(c => Plot.line(c.pts, { stroke: "#2563eb", strokeWidth: 2 })),
    ...func_lines.map(c => Plot.text([c.pts[Math.min(c.pts.length - 1, 15)]], {
      text: [c.label], fill: "#2563eb", fontSize: 11, dy: -8
    }))
  ]
})
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html`<p><b>形态几何特征概括：</b><br>
· <b>柯布–道格拉斯（σ = 1）</b>：双曲线平滑渐进坐标轴，边际替代率连续递减；<br>
· <b>完全替代（σ → ∞）</b>：斜率恒定的负倾斜直线簇，商品间可按固定比率任意替换；<br>
· <b>完全互补（σ = 0）</b>：拐角在射线上的 L 型直角折线，多余的单项商品边际效用为零；<br>
· <b>拟线性效用</b>：无差异曲线沿垂直方向均匀平移，相同 x₁ 处的切线斜率处处完全相同。</p>`

同一基准点下的曲率谱系连续演化

为了进一步清晰观察替代弹性对无差异曲线曲率的连续调节，我们在同一坐标系中，固定穿过基准消费点 \(E_0(2, 2)\)，连续展示不同 \(\sigma\) 下的无差异曲线形态：

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viewof cur_sigma = Inputs.range([0.05, 5], {value: 1.0, step: 0.05, label: html`替代弹性 σ (0.05=互补, 1=C-D, 5=高替代)`})
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cur_rho = (cur_sigma - 1) / cur_sigma

// 基准曲线计算
x_grid = d3.range(0.2, 5.02, 0.02)
calcY = (xx, s) => {
  let r = (s - 1) / s
  if (Math.abs(s - 1.0) < 0.03) {
    // C-D: x1 * x2 = 4 => x2 = 4 / x1
    return 4.0 / xx
  }
  // CES: 0.5*x1^r + 0.5*x2^r = 0.5*2^r + 0.5*2^r = 2^r
  // x2 = (2*2^r - xx^r)^(1/r)
  let base_val = 2 * Math.pow(2, r)
  let rem = base_val - Math.pow(xx, r)
  if (rem <= 0) return null
  return Math.pow(rem, 1 / r)
}

dynamic_pts = x_grid.map(xx => [xx, calcY(xx, cur_sigma)]).filter(d => d[1] !== null && d[1] > 0.1 && d[1] <= 5.5)

// 固定参考线：极强互补 (s=0.15)、C-D (s=1)、完全替代 (s=100)
line_comp = [[2, 5.5], [2, 2], [5.5, 2]]
line_cd = x_grid.map(xx => [xx, 4.0 / xx]).filter(d => d[1] <= 5.5)
line_sub = x_grid.map(xx => [xx, 4.0 - xx]).filter(d => d[1] >= 0 && d[1] <= 5.5)
▷ 展开 / 收起代码 
Plot.plot({
  height: 420,
  x: { domain: [0, 5.5], label: "商品 1 数量 x₁ →" },
  y: { domain: [0, 5.5], label: "↑ 商品 2 数量 x₂" },
  marks: [
    // 静态参考谱系
    Plot.line(line_comp, { stroke: "#94a3b8", strokeWidth: 1.5, strokeDasharray: "3,3" }),
    Plot.text([[2.1, 5.2]], { text: ["σ→0 (互补)"], fill: "#64748b", fontSize: 10 }),
    Plot.line(line_cd, { stroke: "#cbd5e1", strokeWidth: 1.5 }),
    Plot.text([[4.6, 4 / 4.6 + 0.2]], { text: ["σ=1 (C-D)"], fill: "#94a3b8", fontSize: 10 }),
    Plot.line(line_sub, { stroke: "#e2e8f0", strokeWidth: 1.5, strokeDasharray: "4,4" }),
    Plot.text([[0.3, 3.9]], { text: ["σ→∞ (替代)"], fill: "#94a3b8", fontSize: 10 }),

    // 动态选定曲线
    Plot.line(dynamic_pts, { stroke: "#2563eb", strokeWidth: 2.5 }),
    Plot.dot([[2, 2]], { fill: "#dc2626", r: 6 }),
    Plot.text([[2, 2]], { text: ["基准点 E₀(2, 2)"], dx: 45, dy: -12, fontSize: 12, fontWeight: "bold", fill: "#dc2626" })
  ]
})
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html`<p>当前选定 <b>σ = ${cur_sigma.toFixed(2)}</b>（对应替代参数 <b>ρ = ${cur_rho.toFixed(2)}</b>）。观察蓝色曲线如何以基准点 E₀ 为几何支点，在平直倾斜线（完全替代）与直角折线（完全互补）之间平滑地调节其凸向原点的曲率幅度。</p>`

拟线性效用函数与非对称结构

在 CES 族之外，微观应用（如公共经济学与机制设计）中最常使用的效用形式是拟线性（Quasilinear）效用函数：

\[u(x_1, x_2) = v(x_1) + b x_2, \qquad b > 0\]

其中商品 2 以完全线性方式进入效用（常代表货币或其他一般购买力），而商品 1 表现出严格凹性（\(v'' < 0\)）。

拟线性偏好的边际替代率为：

\[\operatorname{MRS}_{1, 2} = \frac{v'(x_1)}{b}\]

其核心经济特征是：\(\operatorname{MRS}_{1, 2}\) 只与商品 1 的消费量有关，完全独立于商品 2 的消费水平。这意味着在无差异图上，所有无差异曲线是由某一条基准曲线沿纵轴垂直平行平移得到的。在标准内点解（财富充裕且两种商品购买量均严格为正）条件下，对商品 1 的需求量完全由切点条件 \(v'(x_1^*) / p_1 = b / p_2\) 独立锁定，完全不随财富水平变化（零财富效应）。只有在极端贫困导致角点解（\(x_2^* = 0\)）时，收入效应才会重新出现。

关键术语

术语 符号表达 核心概念定义
替代弹性 \(\sigma = \frac{\mathrm{d}\ln(x_2/x_1)}{\mathrm{d}\ln \operatorname{MRS}}\) 相对价格变化对相对消费比率的敏感度
CES 效用函数 \(u = [a x_1^\rho + b x_2^\rho]^{1/\rho}\) 替代弹性恒定为 \(\sigma = 1/(1-\rho)\) 的函数族
完全替代极限 \(\rho = 1 \iff \sigma \to \infty\) 边际替代率为常数，无差异曲线为直线
柯布–道格拉斯极限 \(\rho \to 0 \iff \sigma \to 1\) 支出份额锁定常数，洛必达极限
完全互补极限 \(\rho \to -\infty \iff \sigma \to 0\) 固定消费比例，直角拐角折线
拟线性效用 \(v(x_1) + b x_2\) 边际替代率仅依赖单品，无差异曲线垂直平行平移

延伸阅读与下一讲预告

  • 深入思考：在柯布–道格拉斯或 CES 函数中，若将所有商品的消费数量同时翻倍，消费者的边际替代率是否改变？这种规模缩放下的结构保持，在数学上属于什么性质？
  • 下一讲（1.5 齐次性与同位偏好）：我们将跳出具体的代数公式，深入考察偏好的规模特征。我们将严格辨析作为基数技术性质的“齐次性”与作为真正序数本质的“同位性”，并推导径向扩张与射线切线恒定的核心几何定理。