断点回归 (RDD)：局部随机化的识别与推断

从连续性假设到 rdrobust 实操——兼论阈值被操纵时怎么办

因果推断

断点回归

rdrobust

系统讲解断点回归的识别逻辑、诊断工具与现代估计推断（CCT 局部多项式 + 稳健偏误校正），并用真实数据完整演示 rdrobust；结尾讨论驱动变量被精确操纵时 RD 失效与 bunching 方法的衔接。A complete guide to regression discontinuity with a real-data rdrobust walkthrough.

作者

Shawn

Gemini 3.7 Flash

发布于

2026年8月27日

本文是政策研究专栏”因果推断”子栏目的首篇。示例数据来自 Bronzini & Iachini (2014) 的公开复现包（意大利研发补贴的评分断点），后文的所有数字都是本站本地运行的真实输出；方法篇的姊妹篇是数据资源与政策模拟。

本讲核心目标

理解 RDD 的识别逻辑：为什么断点附近是”局部随机试验”；
区分 sharp 与 fuzzy 设计，掌握两类诊断：协变量平衡与密度检验；
掌握现代估计流程：CCT 局部线性、MSE 最优带宽、稳健偏误校正推断（rdrobust）；
明白什么时候 RD 会失效——驱动变量可被精确操纵时，转向 bunching 方法。

识别逻辑：断点附近的局部随机试验

许多政策由评分或连续变量越过阈值触发：考试分数过线决定录取、项目评分过 75 分获得补贴、研发强度达到 3%–6% 享受税收优惠。设驱动变量（running variable）$X_i$，断点 $c$，处理 $D_i = \mathbf{1}\{X_i \ge c\}$。若个体无法精确把自己放在 $X_i$ 的某一侧，那么断点两侧邻近个体的其他特征应当系统性相似——仿佛在 $c$ 附近做了一次随机分组。此时断点处结果变量 $Y$ 的跳跃就是处理的因果效应：

\[\tau_{SRD} = \lim_{x \downarrow c} E[Y_i | X_i = x] - \lim_{x \uparrow c} E[Y_i | X_i = x]\]

图 1: 意大利研发补贴的断点散点：评分 75 分两侧投资率的双侧线性拟合（本站用复现包数据重绘）

图 1 用真实数据展示了这一图景：横轴为项目评分，纵轴为投资/销售比，75 分处双侧拟合线的高度差即补贴效应的视觉估计。

Sharp 与 Fuzzy。 若越过断点就必然、也只有越过断点才能得到处理，为 sharp RDD（上式）。若处理概率在断点处只是跳跃而非从 0 到 1（如补贴申领还需企业配合），为 fuzzy RDD——用断点作为处理概率的工具变量，估计局部 Wald 量。

诊断：识别假设只能逼近，不能直接检验

连续性假设（潜在结果在 $c$ 处连续）本身不可检验，但有两条广泛使用的诊断性证据：

协变量平衡（placebo RD）。 断点两侧，前定协变量的密度与条件均值都不应有跳跃。以我们的示例数据为例，对数就业人数在 75 分处：

. rdrobust LEMPL score, c(75)
------------------------------------------------------------------------------
     Method |   Coef.    Std. Err.    z     P>|z|    [95% Conf. Interval]
------------------------------------------------------------------------------
 Conventional |   .32606     .55138   0.5914   0.554   -.75462    1.40674
------------------------------------------------------------------------------

系数不显著且置信区间覆盖零——通过。若某个前定变量在断点处显著跳跃，两侧可比性存疑，整个设计都要重新审视。

密度检验（manipulation test）。 个体若能精确操控 $X_i$，会人为堆积在有利一侧，导致断点左侧（或阈值之上）出现异常密度峰。

图 2 是示例数据的评分直方图。正式检验用 McCrary (2008) 密度检验或其现代版 rddensity。注意这里有个微妙之处：有堆积不一定杀死设计——如果个体只能操纵”是否进入样本”而无法操纵条件分布，断点附近的比较仍可能有效；但如果个体能把 $X_i$ 精确搬到阈值之上（如企业调整申报研发费用跨过 5% 门槛），RD 就彻底失效了。这正是本专栏政策模拟篇的入口。

估计与推断：告别全局高阶多项式

早期文献（包括 2014 年前发表的许多论文）流行全样本 0–3 阶多项式回归。两条现代共识改变了实践：

Gelman & Imbens (2019)：全局高阶多项式本质上是给远离断点的观测赋予过高的隐含权重，边界效应污染估计——应改用局部低阶多项式；
Calonico–Cattaneo–Titiunik (2014, JASA)：传统”在最优带宽处直接报告点估计与标准误”的推断存在偏误，应做偏误校正 + 稳健方差（CCT 稳健推断），标准实现就是 rdrobust。

标准流程三步：rdbwselect 选带宽（默认 MSE 最优，mserd）→ rdrobust 估计（默认局部线性 + 三角核 + 稳健推断）→ 带宽与多项式阶数敏感性。

真实数据完整演示

仍用评分断点数据，评估补贴对企业投资率的影响：

. rdrobust INVSALES score, c(75)
     Cutoff c = 75 | Left of c  Right of c
-------------------+----------------------
     Number of obs |       103         254
Eff. Number of obs |        44         100
    Order est. (p) |         1           1
    Order bias (q) |         2           2
       BW est. (h) |     6.711       6.711
------------------------------------------------------------------------------
     Method |   Coef.    Std. Err.    z     P>|z|    [95% Conf. Interval]
------------------------------------------------------------------------------
 Conventional |  -.02488     .04876  -0.5103   0.610  -.120441    .07068
       Robust |         -            -  -1.2484   0.212  -.211679    .046944
------------------------------------------------------------------------------

三个读数值得逐一咀嚼：

有效样本骤减：MSE 最优带宽 $h = 6.7$ 分，只用到断点附近 144 个观测（44 对 100）——这是”局部”二字的代价，也是其可信度的来源；
稳健推断不显著：CCT 稳健置信区间 $[-0.21, 0.047]$ 覆盖零。事实上多项式阶数敏感性同样如此：局部二次 $0.004$（SE $0.089$）、局部三次 $0.079$（SE $0.124$），均不显著；
与论文原估计的对照：Bronzini & Iachini (2014) 用的是当时的标准做法——全样本/宽窗口多项式，其局部二次估计为 $+11$ 个百分点（$p=0.04$）。同一数据、现代默认设定下效应不再显著，这不必然意味着原结论错误（小样本下 CCT 带宽收紧、检验功效下降），但它生动说明了方法演进如何改变同一证据的解读——精读篇会完整呈现这组对照。

实操清单（照抄即可）

ssc install rdrobust, replace   // 一次安装
use data.dta, clear
rdplot   Y X, c(75)             // 1. 先画图，永远先画图
rdbwselect Y X, c(75)           // 2. 带宽敏感性：mserd/msetwo/cerrd
rdrobust  Y X, c(75)            // 3. 基准：局部线性 + 稳健推断
rdrobust  Y X, c(75) p(2)       // 4. 阶数敏感性
rdrobust  W1 X, c(75)           // 5. 每个前定协变量做 placebo
rddensity X, c(75)              // 6. 操纵检验
rdrobust  Y X, c(75) h(...)     // 7. 手动带宽网格画稳健量曲线

陷阱清单

有效样本不足：报告有效观测数，而非全样本量；本例 357 个观测在最优带宽下只剩 144 个；
Donut RD 滥用：剔除断点紧邻观测可缓解精确操纵，但也剔除了识别信息最丰富的样本，应作为稳健性而非基准；
多断点（multi-cutoff）：HNTE 的研发强度阈值按销售规模分档（5%/4%/3%），多断点设计需要 rdmulti 类的处理或明确的分析框架，不能简单混作一个断点；
协变量调整的双重用途：把前定协变量放进 RD 回归可以精化估计（效率），但绝不能让”协变量跳不跳”的结论依赖是否控制它们。

从 RD 到 Bunching：本专栏的路线

断点回归要求驱动变量”不可被精确控制”。但高新技术企业认定的 5%/4%/3% 研发强度阈值恰恰相反——申报研发费用掌握在企业自己手里，企业会系统性地把研发强度堆积（bunch）在阈值之上以换取 15% 税率。此时密度检验必然”失败”，而堆积的形状本身成为信息：通过拟合反事实密度，可以估计企业的研发调整弹性并做政策模拟。这正是 Chen et al. (2021, AER) 的路线，也是”因果推断”与”政策模拟”两个子栏目在本专栏中的接续点。

延伸阅读

Lee, David S., and Thomas Lemieux. 2010. “Regression Discontinuity Designs in Economics.” Journal of Economic Literature 48(2): 281–355.
Calonico, Sebastian, Matias D. Cattaneo, and Rocio Titiunik. 2014. “Robust Nonparametric Confidence Intervals for Regression-Discontinuity Designs.” Econometrica 82(6): 2295–2326.
Cattaneo, Matias D., Nicolás Idrobo, and Rocío Titiunik. 2019. A Practical Introduction to Regression Discontinuity Designs: Foundations. Cambridge University Press.
Gelman, Andrew, and Guido Imbens. 2019. “Why High-Order Polynomials Should Not Be Used in Regression Discontinuity Designs.” Journal of Business & Economic Statistics 37(3): 447–456.
McCrary, Justin. 2008. “Manipulation of the Running Variable in the Regression Discontinuity Design: A Density Test.” Journal of Econometrics 142(2): 698–714.

--- title: "断点回归 (RDD)：局部随机化的识别与推断" subtitle: "从连续性假设到 rdrobust 实操——兼论阈值被操纵时怎么办" description: "系统讲解断点回归的识别逻辑、诊断工具与现代估计推断（CCT 局部多项式 + 稳健偏误校正），并用真实数据完整演示 rdrobust；结尾讨论驱动变量被精确操纵时 RD 失效与 bunching 方法的衔接。A complete guide to regression discontinuity with a real-data rdrobust walkthrough." date: "2026-08-27" author: [Shawn, "Gemini 3.7 Flash"] categories: [因果推断, 断点回归, rdrobust] toc: true code-tools: true --- > 本文是[政策研究](index.qmd)专栏"因果推断"子栏目的首篇。示例数据来自 [Bronzini & Iachini (2014)](bronzini-iachini-2014-rd-subsidy.qmd) 的公开复现包（意大利研发补贴的评分断点），后文的所有数字都是本站本地运行的真实输出；方法篇的姊妹篇是[数据资源](rd-data-sources.qmd)与[政策模拟](chen-2021-notching.qmd)。 ::: {.callout-note} ### 本讲核心目标 1. 理解 RDD 的识别逻辑：为什么断点附近是"局部随机试验"； 2. 区分 sharp 与 fuzzy 设计，掌握两类诊断：协变量平衡与密度检验； 3. 掌握现代估计流程：CCT 局部线性、MSE 最优带宽、稳健偏误校正推断（`rdrobust`）； 4. 明白什么时候 RD 会失效——驱动变量可被精确操纵时，转向 [bunching 方法](chen-2021-notching.qmd)。 ::: ## 识别逻辑：断点附近的局部随机试验许多政策由评分或连续变量越过阈值触发：考试分数过线决定录取、项目评分过 75 分获得补贴、研发强度达到 3%–6% 享受税收优惠。设驱动变量（running variable）$X_i$，断点 $c$，处理 $D_i = \mathbf{1}\{X_i \ge c\}$。若个体无法精确把自己放在 $X_i$ 的某一侧，那么断点两侧邻近个体的其他特征应当系统性相似——**仿佛在 $c$ 附近做了一次随机分组**。此时断点处结果变量 $Y$ 的跳跃就是处理的因果效应： $$\tau_{SRD} = \lim_{x \downarrow c} E[Y_i | X_i = x] - \lim_{x \uparrow c} E[Y_i | X_i = x]$$ ![意大利研发补贴的断点散点：评分 75 分两侧投资率的双侧线性拟合（本站用复现包数据重绘）](assets/rd-scatter-bronzini.png){#fig-scatter} @fig-scatter 用真实数据展示了这一图景：横轴为项目评分，纵轴为投资/销售比，75 分处双侧拟合线的高度差即补贴效应的视觉估计。 **Sharp 与 Fuzzy。** 若越过断点就必然、也只有越过断点才能得到处理，为 sharp RDD（上式）。若处理概率在断点处只是跳跃而非从 0 到 1（如补贴申领还需企业配合），为 fuzzy RDD——用断点作为处理概率的工具变量，估计局部 Wald 量。 ## 诊断：识别假设只能逼近，不能直接检验连续性假设（潜在结果在 $c$ 处连续）本身不可检验，但有两条广泛使用的诊断性证据： **协变量平衡（placebo RD）。** 断点两侧，前定协变量的密度与条件均值都不应有跳跃。以我们的示例数据为例，对数就业人数在 75 分处： ```stata . rdrobust LEMPL score, c(75) ------------------------------------------------------------------------------ Method | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] ------------------------------------------------------------------------------ Conventional | .32606 .55138 0.5914 0.554 -.75462 1.40674 ------------------------------------------------------------------------------ ``` 系数不显著且置信区间覆盖零——通过。若某个前定变量在断点处显著跳跃，两侧可比性存疑，整个设计都要重新审视。 **密度检验（manipulation test）。** 个体若能精确操控 $X_i$，会人为堆积在有利一侧，导致断点左侧（或阈值之上）出现异常密度峰。 ![驱动变量的直方图：检查评分分布在 75 分两侧是否异常（本站重绘）](assets/rd-histogram-bronzini.png){#fig-hist} @fig-hist 是示例数据的评分直方图。正式检验用 McCrary (2008) 密度检验或其现代版 `rddensity`。注意这里有个微妙之处：**有堆积不一定杀死设计**——如果个体只能操纵"是否进入样本"而无法操纵条件分布，断点附近的比较仍可能有效；但如果个体能把 $X_i$ 精确搬到阈值之上（如企业调整申报研发费用跨过 5% 门槛），RD 就彻底失效了。这正是本专栏[政策模拟篇](chen-2021-notching.qmd)的入口。 ## 估计与推断：告别全局高阶多项式早期文献（包括 2014 年前发表的许多论文）流行全样本 0–3 阶多项式回归。两条现代共识改变了实践： 1. **Gelman & Imbens (2019)**：全局高阶多项式本质上是给远离断点的观测赋予过高的隐含权重，边界效应污染估计——应改用**局部低阶多项式**； 2. **Calonico–Cattaneo–Titiunik (2014, JASA)**：传统"在最优带宽处直接报告点估计与标准误"的推断存在偏误，应做**偏误校正 + 稳健方差**（CCT 稳健推断），标准实现就是 `rdrobust`。标准流程三步：`rdbwselect` 选带宽（默认 MSE 最优，`mserd`）→ `rdrobust` 估计（默认局部线性 + 三角核 + 稳健推断）→ 带宽与多项式阶数敏感性。 ### 真实数据完整演示仍用评分断点数据，评估补贴对企业投资率的影响： ```stata . rdrobust INVSALES score, c(75) Cutoff c = 75 | Left of c Right of c -------------------+---------------------- Number of obs | 103 254 Eff. Number of obs | 44 100 Order est. (p) | 1 1 Order bias (q) | 2 2 BW est. (h) | 6.711 6.711 ------------------------------------------------------------------------------ Method | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] ------------------------------------------------------------------------------ Conventional | -.02488 .04876 -0.5103 0.610 -.120441 .07068 Robust | - - -1.2484 0.212 -.211679 .046944 ------------------------------------------------------------------------------ ``` 三个读数值得逐一咀嚼： - **有效样本骤减**：MSE 最优带宽 $h = 6.7$ 分，只用到断点附近 144 个观测（44 对 100）——这是"局部"二字的代价，也是其可信度的来源； - **稳健推断不显著**：CCT 稳健置信区间 $[-0.21, 0.047]$ 覆盖零。事实上多项式阶数敏感性同样如此：局部二次 $0.004$（SE $0.089$）、局部三次 $0.079$（SE $0.124$），均不显著； - **与论文原估计的对照**：[Bronzini & Iachini (2014)](bronzini-iachini-2014-rd-subsidy.qmd) 用的是当时的标准做法——全样本/宽窗口多项式，其局部二次估计为 $+11$ 个百分点（$p=0.04$）。同一数据、现代默认设定下效应不再显著，**这不必然意味着原结论错误**（小样本下 CCT 带宽收紧、检验功效下降），但它生动说明了方法演进如何改变同一证据的解读——精读篇会完整呈现这组对照。 ::: {.callout-tip} ### 实操清单（照抄即可） ```stata ssc install rdrobust, replace // 一次安装 use data.dta, clear rdplot Y X, c(75) // 1. 先画图，永远先画图 rdbwselect Y X, c(75) // 2. 带宽敏感性：mserd/msetwo/cerrd rdrobust Y X, c(75) // 3. 基准：局部线性 + 稳健推断 rdrobust Y X, c(75) p(2) // 4. 阶数敏感性 rdrobust W1 X, c(75) // 5. 每个前定协变量做 placebo rddensity X, c(75) // 6. 操纵检验 rdrobust Y X, c(75) h(...) // 7. 手动带宽网格画稳健量曲线 ``` ::: ## 陷阱清单 - **有效样本不足**：报告有效观测数，而非全样本量；本例 357 个观测在最优带宽下只剩 144 个； - **Donut RD 滥用**：剔除断点紧邻观测可缓解精确操纵，但也剔除了识别信息最丰富的样本，应作为稳健性而非基准； - **多断点（multi-cutoff）**：HNTE 的研发强度阈值按销售规模分档（5%/4%/3%），多断点设计需要 `rdmulti` 类的处理或明确的分析框架，不能简单混作一个断点； - **协变量调整的双重用途**：把前定协变量放进 RD 回归可以精化估计（效率），但绝不能让"协变量跳不跳"的结论依赖是否控制它们。 ## 从 RD 到 Bunching：本专栏的路线断点回归要求驱动变量"不可被精确控制"。但[高新技术企业认定](hnte-policy.qmd)的 5%/4%/3% 研发强度阈值恰恰相反——申报研发费用掌握在企业自己手里，企业会系统性地把研发强度**堆积（bunch）在阈值之上**以换取 15% 税率。此时密度检验必然"失败"，而堆积的形状本身成为信息：通过拟合反事实密度，可以估计企业的研发调整弹性并做政策模拟。这正是 [Chen et al. (2021, AER)](chen-2021-notching.qmd) 的路线，也是"因果推断"与"政策模拟"两个子栏目在本专栏中的接续点。 ## 延伸阅读 - Lee, David S., and Thomas Lemieux. 2010. "Regression Discontinuity Designs in Economics." *Journal of Economic Literature* 48(2): 281–355. - Calonico, Sebastian, Matias D. Cattaneo, and Rocio Titiunik. 2014. "Robust Nonparametric Confidence Intervals for Regression-Discontinuity Designs." *Econometrica* 82(6): 2295–2326. - Cattaneo, Matias D., Nicolás Idrobo, and Rocío Titiunik. 2019. *A Practical Introduction to Regression Discontinuity Designs: Foundations.* Cambridge University Press. - Gelman, Andrew, and Guido Imbens. 2019. "Why High-Order Polynomials Should Not Be Used in Regression Discontinuity Designs." *Journal of Business & Economic Statistics* 37(3): 447–456. - McCrary, Justin. 2008. "Manipulation of the Running Variable in the Regression Discontinuity Design: A Density Test." *Journal of Econometrics* 142(2): 698–714.